Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les points d'inflexion f(x)=x racine carrée de 4-x^2
Étape 1
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 1.1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.5
Associez et .
Étape 1.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1
Multipliez par .
Étape 1.1.7.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.8
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.8.2
Associez et .
Étape 1.1.8.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.8.4
Associez et .
Étape 1.1.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.10
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.11
Additionnez et .
Étape 1.1.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.14
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.14.1
Multipliez par .
Étape 1.1.14.2
Associez et .
Étape 1.1.14.3
Associez et .
Étape 1.1.15
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.16
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.17
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.18
Additionnez et .
Étape 1.1.19
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.20
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.20.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.20.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.20.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.21
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.22
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.23
Multipliez par .
Étape 1.1.24
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.25
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.26
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.26.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.26.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.26.3
Additionnez et .
Étape 1.1.26.4
Divisez par .
Étape 1.1.27
Simplifiez .
Étape 1.1.28
Soustrayez de .
Étape 1.1.29
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 1.2.2
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.2.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.2.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3
Simplifiez
Étape 1.2.4
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.4.4
Multipliez par .
Étape 1.2.4.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.6
Additionnez et .
Étape 1.2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.7
Associez et .
Étape 1.2.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.9
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.9.1
Multipliez par .
Étape 1.2.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.10
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.10.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.2.10.2
Associez et .
Étape 1.2.10.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.2.11
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.14
Multipliez par .
Étape 1.2.15
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.16
Simplifiez les termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.16.1
Additionnez et .
Étape 1.2.16.2
Associez et .
Étape 1.2.16.3
Associez et .
Étape 1.2.16.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.17
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.17.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.17.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.17.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.18
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.2.19
Multipliez par .
Étape 1.2.20
Multipliez par .
Étape 1.2.21
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.21.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.21.1.3
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.21.1.5
Associez et .
Étape 1.2.21.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.21.1.7
Réécrivez en forme factorisée.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1.7.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.7.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.7.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.7.2
Associez les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1.7.2.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1.7.2.1.1
Déplacez .
Étape 1.2.21.1.7.2.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.21.1.7.2.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.21.1.7.2.1.4
Additionnez et .
Étape 1.2.21.1.7.2.1.5
Divisez par .
Étape 1.2.21.1.7.2.2
Simplifiez .
Étape 1.2.21.1.8
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.1.8.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.21.1.8.2
Multipliez par .
Étape 1.2.21.1.8.3
Multipliez par .
Étape 1.2.21.1.8.4
Soustrayez de .
Étape 1.2.21.1.8.5
Additionnez et .
Étape 1.2.21.2
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 1.2.21.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.21.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.2.3.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.21.2.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.21.2.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.21.2.3.2
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 1.2.21.2.3.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.21.2.3.4
Additionnez et .
Étape 1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 2.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.3.2
Définissez égal à .
Étape 2.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 2.3.3.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 2.3.3.2.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.3.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 2.3.3.2.3.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 2.3.3.2.3.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 2.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 2.4
Excluez les solutions qui ne rendent pas vrai.
Étape 3
Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 3.1.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.1.2.3
Additionnez et .
Étape 3.1.2.4
Réécrivez comme .
Étape 3.1.2.5
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 3.1.2.6
Multipliez par .
Étape 3.1.2.7
La réponse finale est .
Étape 3.2
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4
Divisez en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.
Étape 5
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.2.3
Réécrivez comme .
Étape 5.2.2.4
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.2.2.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.2.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.2.6
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.3
Divisez par .
Étape 5.2.4
La réponse finale est .
Étape 5.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 6
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.1
Multipliez par .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.2
Additionnez et .
Étape 6.2.2.3
Réécrivez comme .
Étape 6.2.2.4
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.2.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.2.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.2.6
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.3
Divisez par .
Étape 6.2.4
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 7
Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est .
Étape 8