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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 1.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 1.1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.5
Associez et .
Étape 1.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.7
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.1.7.1
Multipliez par .
Étape 1.1.7.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.8
Associez les fractions.
Étape 1.1.8.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.8.2
Associez et .
Étape 1.1.8.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.8.4
Associez et .
Étape 1.1.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.10
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.11
Additionnez et .
Étape 1.1.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.14
Associez les fractions.
Étape 1.1.14.1
Multipliez par .
Étape 1.1.14.2
Associez et .
Étape 1.1.14.3
Associez et .
Étape 1.1.15
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.16
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.17
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.18
Additionnez et .
Étape 1.1.19
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.20
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.1.20.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.20.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.20.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.21
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.22
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.23
Multipliez par .
Étape 1.1.24
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.25
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.26
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.1.26.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.26.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.26.3
Additionnez et .
Étape 1.1.26.4
Divisez par .
Étape 1.1.27
Simplifiez .
Étape 1.1.28
Soustrayez de .
Étape 1.1.29
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 1.2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 1.2.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 1.2.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.2.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.2.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3
Simplifiez
Étape 1.2.4
Différenciez.
Étape 1.2.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.4.4
Multipliez par .
Étape 1.2.4.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.6
Additionnez et .
Étape 1.2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.7
Associez et .
Étape 1.2.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.2.9.1
Multipliez par .
Étape 1.2.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.10
Associez les fractions.
Étape 1.2.10.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.2.10.2
Associez et .
Étape 1.2.10.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.2.11
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.14
Multipliez par .
Étape 1.2.15
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.16
Simplifiez les termes.
Étape 1.2.16.1
Additionnez et .
Étape 1.2.16.2
Associez et .
Étape 1.2.16.3
Associez et .
Étape 1.2.16.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.17
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.2.17.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.17.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.17.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.18
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.2.19
Multipliez par .
Étape 1.2.20
Multipliez par .
Étape 1.2.21
Simplifiez
Étape 1.2.21.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.2.21.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.21.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.21.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.21.1.5
Associez et .
Étape 1.2.21.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.21.1.7
Réécrivez en forme factorisée.
Étape 1.2.21.1.7.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.7.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.7.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.21.1.7.2
Associez les exposants.
Étape 1.2.21.1.7.2.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.2.21.1.7.2.1.1
Déplacez .
Étape 1.2.21.1.7.2.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.21.1.7.2.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.21.1.7.2.1.4
Additionnez et .
Étape 1.2.21.1.7.2.1.5
Divisez par .
Étape 1.2.21.1.7.2.2
Simplifiez .
Étape 1.2.21.1.8
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.2.21.1.8.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.21.1.8.2
Multipliez par .
Étape 1.2.21.1.8.3
Multipliez par .
Étape 1.2.21.1.8.4
Soustrayez de .
Étape 1.2.21.1.8.5
Additionnez et .
Étape 1.2.21.2
Associez des termes.
Étape 1.2.21.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 1.2.21.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.21.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.2.21.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.2.21.2.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.21.2.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.21.2.3.2
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 1.2.21.2.3.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.21.2.3.4
Additionnez et .
Étape 1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2
Étape 2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 2.3
Résolvez l’équation pour .
Étape 2.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.3.2
Définissez égal à .
Étape 2.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 2.3.3.2
Résolvez pour .
Étape 2.3.3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 2.3.3.2.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 2.3.3.2.3.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 2.3.3.2.3.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 2.3.3.2.3.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 2.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 2.4
Excluez les solutions qui ne rendent pas vrai.
Étape 3
Étape 3.1
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Étape 3.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 3.1.2
Simplifiez le résultat.
Étape 3.1.2.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.1.2.3
Additionnez et .
Étape 3.1.2.4
Réécrivez comme .
Étape 3.1.2.5
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 3.1.2.6
Multipliez par .
Étape 3.1.2.7
La réponse finale est .
Étape 3.2
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4
Divisez en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 5.2.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 5.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.2.3
Réécrivez comme .
Étape 5.2.2.4
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.2.2.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.2.2.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.2.6
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.3
Divisez par .
Étape 5.2.4
La réponse finale est .
Étape 5.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 6
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Étape 6.2.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.2.1.1
Multipliez par .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 6.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.2
Additionnez et .
Étape 6.2.2.3
Réécrivez comme .
Étape 6.2.2.4
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.2.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.2.2.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.2.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.2.6
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.3
Divisez par .
Étape 6.2.4
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 7
Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est .
Étape 8