Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 24 x$ .

$36 x^{2} - 24 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $36 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (3 x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (3 x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{2}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}}$

Étape 3.3.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Étape 3.3.2.1.8

Multipliez $- 4 (\frac{8}{27})$ .

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Étape 3.3.2.1.8.1

Associez $- 4$ et $\frac{8}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Étape 3.3.2.1.8.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Étape 3.3.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Étape 3.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Étape 3.3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{2}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ est $(\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

Étape 5.2.2

Additionnez $0.36$ et $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.76$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $2.76$ .

$2.76$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $2.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{2}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

Étape 6.2.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Sur $0.\overline{3}$ , la dérivée seconde est $- 4$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \frac{2}{3})$

Diminue sur $(0, \frac{2}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{2}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.7\overline{6}$ dans l’expression.

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.7\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.58\overline{7}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $18.4$ de $21.16$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2.76$ .

$2.76$

Étape 7.3

Sur $0.7\overline{6}$ , la dérivée seconde est $2.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{2}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Étape 9