Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 3 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{4} - 3 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (2 x)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 6$ .

$12 x^{2} - 6$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 6 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 6 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 6$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 6$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 6$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{12}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $12$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$x^{2} = \frac{6 (1)}{12}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$x^{2} = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 (1)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{2}{4})$

Étape 4.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.1.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 (1)}{4}$

Étape 4.1.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Étape 4.1.2.1.9

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 4.1.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 6}{4}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{4}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5}{4}$

Étape 4.1.2.7

La réponse finale est $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ est $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 4.3

Remplacez $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{2}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 4.3.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 (1)}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Étape 4.3.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Étape 4.3.2.1.9

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 4.3.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{2}{4})$

Étape 4.3.2.1.12

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.3.2.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 (1)}{4}$

Étape 4.3.2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Étape 4.3.2.1.13

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 4.3.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 6}{4}$

Étape 4.3.2.5.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{4}$

Étape 4.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5}{4}$

Étape 4.3.2.7

La réponse finale est $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ est $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (- 0.80710678) = 12 {(- 0.80710678)}^{2} - 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 12 \cdot 0.65142135 - 6$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 7.81705627 - 6$

Étape 6.2.2

Soustrayez $6$ de $7.81705627$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.81705627$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1.81705627$ .

$1.81705627$

Étape 6.3

Sur $- 0.80710678$ , la dérivée seconde est $1.81705627$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 6$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 6$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Étape 7.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 6$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Diminue sur $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (0.80710678) = 12 {(0.80710678)}^{2} - 6$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.80710678) = 12 \cdot 0.65142135 - 6$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 7.81705627 - 6$

Étape 8.2.2

Soustrayez $6$ de $7.81705627$ .

$f'' (0.80710678) = 1.81705627$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $1.81705627$ .

$1.81705627$

Étape 8.3

Sur $0.80710678$ , la dérivée seconde est $1.81705627$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Étape 10