Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{x^{2} - 1}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $x^{2} - 1$ par $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 2.1.9

Associez $3$ et $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.1.10.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2.7

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.2

Réécrivez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ comme $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.3

Développez $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.4.1.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.4.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 2 x^{2}) - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.2.5.3.1.6.1

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{1 + 2} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.3.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.1.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.1.10.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.10.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.10.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.11

Développez $(12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} (x^{3} - x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.4

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.1.5

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.2

Additionnez $- 12 x^{3}$ et $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 0 - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.1.12.3

Additionnez $12 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.2

Additionnez $- 6 x^{5}$ et $12 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.3.3

Soustrayez $12 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.4.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x$ .

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Étape 2.2.5.4.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $- 18 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.1.4

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.1.5

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.4

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.5.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.2.5.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.4.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.5.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Étape 2.2.5.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Étape 2.2.5.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.6

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et ${(x + 1)}^{4}$ .

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Étape 2.2.5.6.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.6.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Étape 2.2.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Étape 2.2.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.7

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{4}$ .

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Étape 2.2.5.7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.7.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Étape 2.2.5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Étape 2.2.5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 x (x^{2} + 3) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.3

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3$

Étape 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 3.3.3.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 3.3.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 3.3.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 3.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 3.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 3.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x (x^{2} + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $0$ par $- 1$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $6$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 0.6$ par ${(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 0.1$ et $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $0.9$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 1.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 \cdot - 1.331}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $0.729$ par $- 1.331$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{- 0.970299}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $- 1.806$ par $- 0.970299$ .

$f'' (- 0.1) = 1.86128193$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $1.86128193$ .

$1.86128193$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $1.86128193$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $6$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $0.6$ par ${0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $0.1$ et $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $1.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $- 0.9$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 \cdot - 0.729}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Multipliez $1.331$ par $- 0.729$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{- 0.970299}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $1.806$ par $- 0.970299$ .

$f'' (0.1) = - 1.86128193$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 1.86128193$ .

$- 1.86128193$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $- 1.86128193$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \infty)$

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Étape 9