Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Étape 1

Écrivez $y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 2.1.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.1.9

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.2

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.10.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.1.10.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.6

Pour écrire $x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.7

Associez $x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.9

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.10.2.10

Additionnez $3 x^{\frac{1}{3}}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.9

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.2.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Étape 2.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.3.5.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 2.2.3.5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 2.2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Étape 2.2.3.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Étape 2.2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Étape 2.2.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 2.2.3.12

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Étape 2.2.3.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 2.2.3.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Étape 2.2.3.13.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Étape 2.2.3.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Étape 2.2.3.14

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Étape 2.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.3.16

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.3.17

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 2.2.3.18

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 2.2.3.19

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Étape 3.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

$9$ a des facteurs de $3$ et $3$ .

$3 \cdot 3$

Étape 3.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.6

Le plus petit multiple commun de $9, 9, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3 \cdot 3$

Étape 3.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$9$

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{5}{3}}$

Étape 3.2.9

Le plus petit multiple commun pour $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ est la partie numérique $9$ multipliée par la partie variable.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ par $9 x^{\frac{5}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ par $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1

Factorisez $x^{\frac{2}{3}}$ à partir de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.4

Divisez $3$ par $3$ .

$4 x^{1} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.5

Simplifiez

$4 x + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{5}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.2.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$4 x + 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$4 x + 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x + 8 = 0$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 8$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 8$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 8$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $- 8$ par $4$ .

$x = - 2$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} ((- 2) - 4)$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 6$

Étape 4.1.2.2

Déplacez $- 6$ à gauche de ${(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 2) = - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ est $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Pour écrire $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez ${(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.2.1

Déplacez ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2.2.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 (- 2.1) + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.1

Évaluez l’exposant.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 \cdot - 2.1 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $4$ par $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 8.4 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.4.3

Additionnez $- 8.4$ et $8$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 2.1) = - \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est $- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $0.01290581$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.9$ dans l’expression.

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Pour écrire $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Multipliez $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez ${(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Déplacez ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.2.2.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 (- 1.9) + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Évaluez l’exposant.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 \cdot - 1.9 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $4$ par $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 7.6 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.4.3

Additionnez $- 7.6$ et $8$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.3

Sur $- 1.9$ , la dérivée seconde est $- 0.01524853$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, \infty)$

Diminue sur $(- 2, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 9