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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 2.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.1.2
Différenciez.
Étape 2.1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.6
Simplifiez l’expression.
Étape 2.1.2.6.1
Additionnez et .
Étape 2.1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.6
Additionnez et .
Étape 2.1.7
Soustrayez de .
Étape 2.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.2.2
Différenciez.
Étape 2.2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.2.5
Multipliez par .
Étape 2.2.2.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2.7
Additionnez et .
Étape 2.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.2.4
Différenciez.
Étape 2.2.4.1
Multipliez par .
Étape 2.2.4.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.4.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.4.5
Simplifiez l’expression.
Étape 2.2.4.5.1
Additionnez et .
Étape 2.2.4.5.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.2.4.5.3
Multipliez par .
Étape 2.2.5
Simplifiez
Étape 2.2.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.2.5.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.2.5.3.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.2.5.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.5.3.1.3
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 2.2.5.3.1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.4
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 2.2.5.3.1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.2.5.3.1.4.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.2.5.3.1.4.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5.3.1.4.1.1.2
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.1.4.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.2.5.3.1.4.1.3
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.4.2
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.6
Simplifiez
Étape 2.2.5.3.1.6.1
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.6.2
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.8
Simplifiez
Étape 2.2.5.3.1.8.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.2.5.3.1.8.1.1
Déplacez .
Étape 2.2.5.3.1.8.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.8.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.5.3.1.8.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5.3.1.8.1.3
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.1.8.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.2.5.3.1.8.2.1
Déplacez .
Étape 2.2.5.3.1.8.2.2
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.8.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.5.3.1.8.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5.3.1.8.2.3
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.1.9
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.2.5.3.1.9.1
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.9.2
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.10
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.2.5.3.1.10.1
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.10.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.5.3.1.10.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5.3.1.10.2
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.1.11
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 2.2.5.3.1.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.5.3.1.12
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 2.2.5.3.1.12.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.2.5.3.1.12.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.2.5.3.1.12.1.1.1
Déplacez .
Étape 2.2.5.3.1.12.1.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5.3.1.12.1.1.3
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.1.12.1.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.2.5.3.1.12.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.1
Déplacez .
Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.2
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5.3.1.12.1.3.3
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.1.12.1.4
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.12.1.5
Multipliez par .
Étape 2.2.5.3.1.12.2
Soustrayez de .
Étape 2.2.5.3.1.12.3
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.2
Additionnez et .
Étape 2.2.5.3.3
Soustrayez de .
Étape 2.2.5.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.2.5.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.4.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.4.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.5.4.3
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.2.5.4.4
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 2.2.5.4.4.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 2.2.5.4.4.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 2.2.5.4.5
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.2.5.5
Annulez le facteur commun à et .
Étape 2.2.5.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.5.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.2.5.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.5.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 3
Étape 3.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 3.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 3.3
Résolvez l’équation pour .
Étape 3.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 3.3.2
Définissez égal à .
Étape 3.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 3.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 3.3.3.2
Résolvez pour .
Étape 3.3.3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 3.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 3.3.3.2.3
Simplifiez .
Étape 3.3.3.2.3.1
Réécrivez comme .
Étape 3.3.3.2.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.3.3.2.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 3.3.3.2.3.2
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 3.3.3.2.4
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 3.3.3.2.4.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 3.3.3.2.4.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 3.3.3.2.4.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 3.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 4
Étape 4.1
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Étape 4.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.1.2
Simplifiez le résultat.
Étape 4.1.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 4.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.1.2.1.2
Additionnez et .
Étape 4.1.2.2
Divisez par .
Étape 4.1.2.3
La réponse finale est .
Étape 4.2
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4.3
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Étape 4.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.3.2
Simplifiez le résultat.
Étape 4.3.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 4.3.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.3.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.2.1.3
Réécrivez comme .
Étape 4.3.2.1.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.3.2.1.3.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.3.2.1.3.3
Associez et .
Étape 4.3.2.1.3.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.3.2.1.3.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.2.1.3.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.2.1.3.5
Évaluez l’exposant.
Étape 4.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 4.3.2.1.5
Additionnez et .
Étape 4.3.2.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 4.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.3.2.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.2.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 4.4
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4.5
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Étape 4.5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 4.5.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 4.5.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.5.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.5.2.1.3
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2.1.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.5.2.1.3.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.5.2.1.3.3
Associez et .
Étape 4.5.2.1.3.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.5.2.1.3.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.5.2.1.3.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.5.2.1.3.5
Évaluez l’exposant.
Étape 4.5.2.1.4
Multipliez par .
Étape 4.5.2.1.5
Additionnez et .
Étape 4.5.2.2
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Étape 4.5.2.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Étape 4.5.2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.5.2.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.5.2.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.5.2.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.5.2.3
La réponse finale est .
Étape 4.6
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4.7
Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.
Étape 5
Divisez en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.
Étape 6
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Étape 6.2.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.2.1.1
Multipliez par .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 6.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.2.2
Additionnez et .
Étape 6.2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.3
Divisez par .
Étape 6.2.4
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 7
Étape 7.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 7.2
Simplifiez le résultat.
Étape 7.2.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 7.2.1.1
Multipliez par .
Étape 7.2.1.2
Multipliez par .
Étape 7.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 7.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.2.2
Additionnez et .
Étape 7.2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.3
Divisez par .
Étape 7.2.4
La réponse finale est .
Étape 7.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 8
Étape 8.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 8.2
Simplifiez le résultat.
Étape 8.2.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 8.2.1.1
Multipliez par .
Étape 8.2.1.2
Multipliez par .
Étape 8.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 8.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.2.2.2
Additionnez et .
Étape 8.2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 8.2.3
Divisez par .
Étape 8.2.4
La réponse finale est .
Étape 8.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 9
Étape 9.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 9.2
Simplifiez le résultat.
Étape 9.2.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 9.2.1.1
Multipliez par .
Étape 9.2.1.2
Multipliez par .
Étape 9.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 9.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 9.2.2.2
Additionnez et .
Étape 9.2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 9.2.3
Divisez par .
Étape 9.2.4
La réponse finale est .
Étape 9.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 10
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Étape 11