Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 17 x^{4} - 102 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $17 x^{4} - 102 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [17 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 102 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (17 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 102 x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [17 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $17 x^{4}$ par rapport à $x$ est $17 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 17 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 102 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 17 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 102 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $17$ .

$f' (x) = 68 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 102 x^{2})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 102 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 102$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 102 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 102 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 68 x^{3} - 102 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 68 x^{3} - 102 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 102$ .

$f' (x) = 68 x^{3} - 204 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $68 x^{3} - 204 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [68 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 204 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (68 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 204 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [68 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $68$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $68 x^{3}$ par rapport à $x$ est $68 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 68 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 204 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 68 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 204 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $68$ .

$f'' (x) = 204 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 204 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 204 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 204$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 204 x$ par rapport à $x$ est $- 204 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 204 x^{2} - 204 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 204 x^{2} - 204 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 204$ par $1$ .

$f'' (x) = 204 x^{2} - 204$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $204 x^{2} - 204$ .

$204 x^{2} - 204$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $204 x^{2} - 204 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$204 x^{2} - 204 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $204$ aux deux côtés de l’équation.

$204 x^{2} = 204$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $204 x^{2} = 204$ par $204$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $204 x^{2} = 204$ par $204$ .

$\frac{204 x^{2}}{204} = \frac{204}{204}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $204$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{204 x^{2}}{204} = \frac{204}{204}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{204}{204}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $204$ par $204$ .

$x^{2} = 1$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = 17 x^{4} - 102 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 17 {(1)}^{4} - 102 {(1)}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 17 \cdot 1 - 102 {(1)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $17$ par $1$ .

$f (1) = 17 - 102 {(1)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 17 - 102 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 102$ par $1$ .

$f (1) = 17 - 102$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $102$ de $17$ .

$f (1) = - 85$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 85$ .

$- 85$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = 17 x^{4} - 102 x^{2}$ est $(1, - 85)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, - 85)$

Étape 3.3

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = 17 x^{4} - 102 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 17 {(- 1)}^{4} - 102 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 17 \cdot 1 - 102 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $17$ par $1$ .

$f (- 1) = 17 - 102 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 17 - 102 \cdot 1$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 102$ par $1$ .

$f (- 1) = 17 - 102$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $102$ de $17$ .

$f (- 1) = - 85$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 85$ .

$- 85$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = 17 x^{4} - 102 x^{2}$ est $(- 1, - 85)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, - 85)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, - 85), (- 1, - 85)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = 204 {(- 1.1)}^{2} - 204$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = 204 \cdot 1.21 - 204$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $204$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 246.84 - 204$

Étape 5.2.2

Soustrayez $204$ de $246.84$ .

$f'' (- 1.1) = 42.84$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $42.84$ .

$42.84$

Étape 5.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $42.84$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 204 {(0)}^{2} - 204$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 204 \cdot 0 - 204$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $204$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 204$

Étape 6.2.2

Soustrayez $204$ de $0$ .

$f'' (0) = - 204$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 204$ .

$- 204$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 204$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 1, 1)$

Diminue sur $(- 1, 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = 204 {(1.1)}^{2} - 204$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = 204 \cdot 1.21 - 204$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $204$ par $1.21$ .

$f'' (1.1) = 246.84 - 204$

Étape 7.2.2

Soustrayez $204$ de $246.84$ .

$f'' (1.1) = 42.84$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $42.84$ .

$42.84$

Étape 7.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $42.84$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 85), (1, - 85)$ .

$(- 1, - 85), (1, - 85)$

Étape 9