Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{6} - 13 x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{6}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{6}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f' (x) = 10 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $6$ par $10$ .

$f' (x) = 60 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 13 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 \frac{d}{d x} x^{5}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 (5 x^{4})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 13$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 65 x^{4}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $60 x^{5} - 65 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [60 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{5}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{5}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 60 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $5$ par $60$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 65$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 65 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 65 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 (4 x^{3})$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $4$ par $- 65$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 260 x^{3}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $20 x^{3}$ à partir de $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $20 x^{3}$ à partir de $300 x^{4}$ .

$20 x^{3} (15 x) - 260 x^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $20 x^{3}$ à partir de $- 260 x^{3}$ .

$20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $20 x^{3}$ à partir de $20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13)$ .

$20 x^{3} (15 x - 13) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$15 x - 13 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $15 x - 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $15 x - 13$ égal à $0$ .

$15 x - 13 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $15 x - 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$15 x = 13$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $15 x = 13$ par $15$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $15 x = 13$ par $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{13}{15}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $20 x^{3} (15 x - 13) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{13}{15}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 10 {(0)}^{6} - 13 {(0)}^{5}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 10 \cdot 0 - 13 {(0)}^{5}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{5}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 13$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{13}{15}$ dans $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{13}{15}$ dans l’expression.

$f (\frac{13}{15}) = 10 {(\frac{13}{15})}^{6} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{13^{6}}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $13$ à la puissance $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $15$ à la puissance $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 (2) (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $11390625$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{13}{15}) = 2 (\frac{4826809}{2278125}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.5

Associez $2$ et $\frac{4826809}{2278125}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{2 \cdot 4826809}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.6

Multipliez $2$ par $4826809$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Étape 3.3.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{13^{5}}{15^{5}}$

Étape 3.3.2.1.8

Élevez $13$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{371293}{15^{5}}$

Étape 3.3.2.1.9

Élevez $15$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 (\frac{371293}{759375})$

Étape 3.3.2.1.10

Multipliez $- 13 (\frac{371293}{759375})$ .

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Étape 3.3.2.1.10.1

Associez $- 13$ et $\frac{371293}{759375}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 13 \cdot 371293}{759375}$

Étape 3.3.2.1.10.2

Multipliez $- 13$ par $371293$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 4826809}{759375}$

Étape 3.3.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $- \frac{4826809}{759375}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2278125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $\frac{4826809}{759375}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{759375 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $759375$ par $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{2278125}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 4826809 \cdot 3}{2278125}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $- 4826809$ par $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 14480427}{2278125}$

Étape 3.3.2.5.2

Soustrayez $14480427$ de $9653618$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{- 4826809}{2278125}$

Étape 3.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{13}{15}) = - \frac{4826809}{2278125}$

Étape 3.3.2.7

La réponse finale est $- \frac{4826809}{2278125}$ .

$- \frac{4826809}{2278125}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{13}{15}$ dans $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ est $(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{13}{15}) \cup (\frac{13}{15}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = 300 {(- 0.1)}^{4} - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.1) = 300 \cdot 0.0001 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $300$ par $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 \cdot - 0.001$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 260$ par $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 + 0.26$

Étape 5.2.2

Additionnez $0.03$ et $0.26$ .

$f'' (- 0.1) = 0.29$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0.29$ .

$0.29$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $0.29$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{13}{15})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.4\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 {(0.4\overline{3})}^{4} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.4\overline{3}$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 \cdot 0.03526049 - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $300$ par $0.03526049$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $0.4\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 \cdot 0.081\overline{370}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 260$ par $0.081\overline{370}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 21.15629629$

Étape 6.2.2

Soustrayez $21.15629629$ de $10.57\overline{814}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = - 10.57814814$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 10.57814814$ .

$- 10.57814814$

Étape 6.3

Sur $0.4\overline{3}$ , la dérivée seconde est $- 10.57814814$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \frac{13}{15})$

Diminue sur $(0, \frac{13}{15})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{13}{15}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.9\overline{6}$ dans l’expression.

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 {(0.9\overline{6})}^{4} - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.9\overline{6}$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 \cdot 0.87318641 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $300$ par $0.87318641$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $0.9\overline{6}$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 \cdot 0.903\overline{296}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 260$ par $0.903\overline{296}$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 234.85703703$

Étape 7.2.2

Soustrayez $234.85703703$ de $261.95592592$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 27.09888888$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $27.09888888$ .

$27.09888888$

Étape 7.3

Sur $0.9\overline{6}$ , la dérivée seconde est $27.09888888$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{13}{15}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{13}{15}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ .

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Étape 9