Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 30 x + 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (24)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (24)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + \frac{d}{d x} (24)$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + 0$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $12 x - 30$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x - 30$ .

$12 x - 30$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x - 30 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x - 30 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $30$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x = 30$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x = 30$ par $12$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 30$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{30}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $30$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$x = \frac{6 (5)}{12}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{5}{2}$ dans $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(\frac{5}{2})}^{3} - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2^{3}}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{8}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2 (4)}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2 \cdot 4}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.6

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 \frac{25}{2^{2}} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 (\frac{25}{4}) + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.8

Multipliez $- 15 (\frac{25}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.8.1

Associez $- 15$ et $\frac{25}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} + \frac{- 15 \cdot 25}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.8.2

Multipliez $- 15$ par $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} + \frac{- 375}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 2 (12) (\frac{5}{2})$

Étape 3.1.2.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 2 \cdot (12 (\frac{5}{2}))$

Étape 3.1.2.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 12 \cdot 5$

Étape 3.1.2.1.11

Multipliez $12$ par $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 60$

Étape 3.1.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{125 - 375}{4}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $375$ de $125$ .

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{- 250}{4}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 250$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 250$ .

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 (- 125)}{4}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{- 125}{2}$

Étape 3.1.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5}{2}) = 60 - \frac{125}{2}$

Étape 3.1.2.4

Pour écrire $60$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 60 \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{2}$

Étape 3.1.2.5

Associez $60$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{60 \cdot 2}{2} - \frac{125}{2}$

Étape 3.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{60 \cdot 2 - 125}{2}$

Étape 3.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.7.1

Multipliez $60$ par $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{120 - 125}{2}$

Étape 3.1.2.7.2

Soustrayez $125$ de $120$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5}{2}$

Étape 3.1.2.9

La réponse finale est $- \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{5}{2}$ dans $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ est $(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{5}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2.4$ dans l’expression.

$f'' (2.4) = 12 (2.4) - 30$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $12$ par $2.4$ .

$f'' (2.4) = 28.8 - 30$

Étape 5.2.2

Soustrayez $30$ de $28.8$ .

$f'' (2.4) = - 1.2$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 1.2$ .

$- 1.2$

Étape 5.3

Sur $2.4$ , la dérivée seconde est $- 1.2$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{5}{2})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{5}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{5}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.6$ dans l’expression.

$f'' (2.6) = 12 (2.6) - 30$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $12$ par $2.6$ .

$f'' (2.6) = 31.2 - 30$

Étape 6.2.2

Soustrayez $30$ de $31.2$ .

$f'' (2.6) = 1.2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1.2$ .

$1.2$

Étape 6.3

Sur $2.6$ , la dérivée seconde est $1.2$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{5}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{5}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$ .

$(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$

Étape 8