Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{2} + 48 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 48 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $48 x$ .

$12 x (x) + 12 x (4) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $- 4$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} + 8 {(- 4)}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f (- 4) = 256 + 8 {(- 4)}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f (- 4) = 256 + 8 \cdot - 64$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $8$ par $- 64$ .

$f (- 4) = 256 - 512$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $512$ de $256$ .

$f (- 4) = - 256$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 256$ .

$- 256$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 4$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ est $(- 4, - 256)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 4, - 256)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- 4, - 256)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.1$ dans l’expression.

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 48 (- 4.1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 48 (- 4.1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 48 (- 4.1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $48$ par $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 196.8$

Étape 5.2.2

Soustrayez $196.8$ de $201.72$ .

$f'' (- 4.1) = 4.92$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $4.92$ .

$4.92$

Étape 5.3

Sur $- 4.1$ , la dérivée seconde est $4.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $48$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96$

Étape 6.2.2

Soustrayez $96$ de $48$ .

$f'' (- 2) = - 48$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 48$ .

$- 48$

Étape 6.3

Sur $- 2$ , la dérivée seconde est $- 48$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 4, 0)$

Diminue sur $(- 4, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 48 (0.1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $48$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 4.8$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.12$ et $4.8$ .

$f'' (0.1) = 4.92$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $4.92$ .

$4.92$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $4.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 256), (0, 0)$ .

$(- 4, - 256), (0, 0)$

Étape 9