Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 72 x$ .

$12 x^{2} - 72 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 72 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 72 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} - 72 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 72 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 72 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 6) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (- 6)$ .

$12 x (x - 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, 6$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 12 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $6$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f (6) = 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (6) = 1296 - 12 \cdot 216$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $216$ .

$f (6) = 1296 - 2592$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $2592$ de $1296$ .

$f (6) = - 1296$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 1296$ .

$- 1296$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $6$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ est $(6, - 1296)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(6, - 1296)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (6, - 1296)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 72 \cdot - 0.1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 72 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 72 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 72$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 7.2$

Étape 5.2.2

Additionnez $0.12$ et $7.2$ .

$f'' (- 0.1) = 7.32$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $7.32$ .

$7.32$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $7.32$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 6)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$f'' (3) = 108 - 72 \cdot 3$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 72$ par $3$ .

$f'' (3) = 108 - 216$

Étape 6.2.2

Soustrayez $216$ de $108$ .

$f'' (3) = - 108$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 108$ .

$- 108$

Étape 6.3

Sur $3$ , la dérivée seconde est $- 108$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, 6)$

Diminue sur $(0, 6)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6.1$ dans l’expression.

$f'' (6.1) = 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $6.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (6.1) = 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $37.21$ .

$f'' (6.1) = 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 72$ par $6.1$ .

$f'' (6.1) = 446.52 - 439.2$

Étape 7.2.2

Soustrayez $439.2$ de $446.52$ .

$f'' (6.1) = 7.32$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $7.32$ .

$7.32$

Étape 7.3

Sur $6.1$ , la dérivée seconde est $7.32$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(6, \infty)$ .

Augmente sur $(6, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (6, - 1296)$ .

$(0, 0), (6, - 1296)$

Étape 9