Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x^{2} - x - 1 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 1.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 1.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 1 \geq 0$

Étape 1.2.8.1.3

Le côté gauche $20$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} - (0) - 1 \geq 0$

Étape 1.2.8.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(4)}^{2} - (4) - 1 \geq 0$

Étape 1.2.8.3.3

Le côté gauche $27$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 1.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{1}{2}$ ou $x \geq 1$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Étape 2

Comme le domaine n’est pas l’ensemble des nombres réels, $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ n’est pas continu sur l’ensemble des nombres réels.

Pas continu

Étape 3