Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Étape 1

Écrivez $y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 51$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 51 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 51$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 180$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 180 x$ par rapport à $x$ est $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 180$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.5.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 102 x - 180$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 102 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 180$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 x$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $3$ plus $- 20$

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

Étape 3.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

Étape 3.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

Étape 3.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 3.4

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{2}, 10$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{3}{2}, 10$ .

$- \frac{3}{2}, 10$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{3}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.5$ dans l’expression.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $6.25$ .

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 102$ par $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $75$ et $255$ .

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $180$ de $330$ .

$f' (- 2.5) = 150$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $150$ .

$150$

Étape 6.3

Sur $x = - 2.5$ la dérivée est $150$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{3}{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.5, 10)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4.25$ dans l’expression.

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4.25$ à la puissance $2$ .

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $18.0625$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 102$ par $4.25$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $433.5$ de $216.75$ .

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $180$ de $- 216.75$ .

$f' (4.25) = - 396.75$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 396.75$ .

$- 396.75$

Étape 7.3

Sur $x = 4.25$ la dérivée est $- 396.75$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1.5, 10)$ .

Diminue sur $(- \frac{3}{2}, 10)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(10, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $11$ dans l’expression.

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $12$ par $121$ .

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 102$ par $11$ .

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

Étape 8.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $1122$ de $1452$ .

$f' (11) = 330 - 180$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $180$ de $330$ .

$f' (11) = 150$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $150$ .

$150$

Étape 8.3

Sur $x = 11$ la dérivée est $150$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(10, \infty)$ .

Augmente sur $(10, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{3}{2}, 10)$

Étape 10