Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Étape 1

Écrivez $y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ comme une fonction.

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.5.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $24 x^{2} - 36 x - 24$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Étape 3.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Étape 3.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Étape 3.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{1}{2}, 2$ .

$- \frac{1}{2}, 2$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.5$ dans l’expression.

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $24$ par $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $54$ et $54$ .

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $24$ de $108$ .

$f' (- 1.5) = 84$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $84$ .

$84$

Étape 6.3

Sur $x = - 1.5$ la dérivée est $84$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{1}{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.5, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.75$ dans l’expression.

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.75$ à la puissance $2$ .

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $24$ par $0.5625$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $0.75$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $27$ de $13.5$ .

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $24$ de $- 13.5$ .

$f' (0.75) = - 37.5$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 37.5$ .

$- 37.5$

Étape 7.3

Sur $x = 0.75$ la dérivée est $- 37.5$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.5, 2)$ .

Diminue sur $(- \frac{1}{2}, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $24$ par $9$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $3$ .

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

Étape 8.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $108$ de $216$ .

$f' (3) = 108 - 24$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $24$ de $108$ .

$f' (3) = 84$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $84$ .

$84$

Étape 8.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $84$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{1}{2}, 2)$

Étape 10