Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Étape 1

Écrivez $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ comme une fonction.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4 \ln (3 x - 4)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \ln (3 x - 4)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x - 4$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Étape 2.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Étape 2.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Étape 2.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Étape 2.1.2.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Étape 2.1.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Étape 2.1.2.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Étape 2.1.2.9

Associez $\frac{1}{3 x - 4}$ et $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Étape 2.1.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Étape 2.1.2.11

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Étape 2.1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Étape 2.1.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Étape 2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Étape 2.1.3.3

Soustrayez $12$ de $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x - 16 = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 16$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 16$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 16$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x - 4 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Étape 7

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1.3333334, \frac{16}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3.33333345$ dans l’expression.

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $3$ par $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $16$ de $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $3$ par $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $4$ de $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Étape 8.2.3

Divisez $- 5.99999965$ par $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Étape 8.3

Sur $x = 3.33333345$ la dérivée est $- 0.99999988$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(1.3333334, \frac{16}{3})$ .

Diminue sur $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{16}{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $6.3333335$ dans l’expression.

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $3$ par $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Étape 10.2.1.2

Soustrayez $16$ de $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $3$ par $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $4$ de $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Étape 10.2.3

Divisez $3.0000005$ par $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $0.20000002$ .

$0.20000002$

Étape 10.3

Sur $x = 6.3333335$ la dérivée est $0.20000002$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{16}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{16}{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{16}{3}, \infty)$

Diminue sur : $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Étape 12