Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 16 x - 12$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 16 x - 12$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ et dont la somme est $b = - 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $2$ plus $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 3.4

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 3.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, 6$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{2}{3}, 6$ .

$- \frac{2}{3}, 6$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{2}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.6666667$ dans l’expression.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.6666667$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $8.333333\overline{6}$ et $26.6666672$ .

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $12$ de $35.00000086$ .

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $23.00000086$ .

$23.00000086$

Étape 6.3

Sur $x = - 1.6666667$ la dérivée est $23.00000086$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{2}{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.6666667, 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.\overline{6}$ dans l’expression.

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $2.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $7.11111102$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $2.\overline{6}$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $42.6666664$ de $21.33333306$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $12$ de $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 33.\overline{3}$ .

$- 33.\overline{3}$

Étape 7.3

Sur $x = 2.\overline{6}$ la dérivée est $- 33.\overline{3}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.6666667, 6)$ .

Diminue sur $(- \frac{2}{3}, 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $49$ .

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $7$ .

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

Étape 8.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $112$ de $147$ .

$f' (7) = 35 - 12$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $12$ de $35$ .

$f' (7) = 23$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $23$ .

$23$

Étape 8.3

Sur $x = 7$ la dérivée est $23$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(6, \infty)$ .

Augmente sur $(6, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{2}{3}, 6)$

Étape 10