Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{6}{x - 5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x - 5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x - 5}$ comme ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$6 (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 6 {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 6 {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 {(x - 5)}^{- 2}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{6}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.2.1.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{{(x - 5)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$

Étape 1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ comme ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{({(x - 5)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$- 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$- 6 (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$12 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$12 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.2.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$12 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 1.2.3.5.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 {(x - 5)}^{- 3}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.4.2

Associez $12$ et $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{12}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{12}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{12}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{12}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$12 = 0$

Étape 2.3

Comme $12 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion