Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.1.1.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 5$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.7.2

Associez ${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.12

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + 0)$

Étape 1.1.13

Associez les fractions.

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Étape 1.1.13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 2$

Étape 1.1.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.1.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.1.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.2.1.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ comme ${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 1.2.1.2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Étape 1.2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 5$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{4}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 5$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.7

Associez les fractions.

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Étape 1.2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.7.2

Associez ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.7.3.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4 \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.7.3.2

Placez ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3}) (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.7.3.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Étape 1.2.7.4

Multipliez $\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.2.7.5

Multipliez.

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Étape 1.2.7.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.2.7.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.2.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.2.12

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + 0)$

Étape 1.2.13

Associez les fractions.

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Étape 1.2.13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 2$

Étape 1.2.13.2

Associez $\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ et $2$ .

$\frac{8 \cdot 2}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 1.2.13.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$16 = 0$

Étape 2.3

Comme $16 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion