Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ , $[0, 2]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$8 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x - 2 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $8 x - 2$ et $0$ .

$f' (x) = 8 x - 2$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x - 2$ .

$8 x - 2$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 2)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 2)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 2)$ car la dérivée est continue sur $(0, 2)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 2]$ et différentiable sur $(0, 2)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ et différentiable sur $(0, 2)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 2]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (0) = 3$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[0, 2]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 3$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (2) = 16 - 2 \cdot 2 + 3$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (2) = 16 - 4 + 3$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $4$ de $16$ .

$f (2) = 12 + 3$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $12$ et $3$ .

$f (2) = 15$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 9

Résolvez $8 x - 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $8 x - 2 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(15) - (3)}{(2) - (0)}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$8 x - 2 = \frac{15 - 3}{2 - (0)}$

Étape 9.1.1.2

Soustrayez $3$ de $15$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 - (0)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 + 0}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2}$

Étape 9.1.3

Divisez $12$ par $2$ .

$8 x - 2 = 6$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x = 6 + 2$

Étape 9.2.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$8 x = 8$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $8 x = 8$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 8$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{8}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Divisez $8$ par $8$ .

$x = 1$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = 1$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = 1$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2$

Étape 11