Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 5$ , $[- 2, 1]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 5$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 1]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 6 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$6 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 6 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $6 x - 6$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(- 2, 1)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(- 2, 1)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(- 2, 1)$ car la dérivée est continue sur $(- 2, 1)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[- 2, 1]$ et différentiable sur $(- 2, 1)$ .

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 1]$ et différentiable sur $(- 2, 1)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[- 2, 1]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 5$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 5$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- 2) = 12 - 6 \cdot - 2 - 5$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 12 + 12 - 5$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $12$ et $12$ .

$f (- 2) = 24 - 5$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $5$ de $24$ .

$f (- 2) = 19$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $19$ .

$19$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[- 2, 1]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 5$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 5$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1 - 5$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 6 - 5$

Étape 8.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f (1) = - 3 - 5$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$f (1) = - 8$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 9

Résolvez $6 x - 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $6 x - 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(- 8) - (19)}{(1) - (- 2)}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $19$ .

$6 x - 6 = \frac{- 8 - 19}{1 - (- 2)}$

Étape 9.1.1.2

Soustrayez $19$ de $- 8$ .

$6 x - 6 = \frac{- 27}{1 - (- 2)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$6 x - 6 = \frac{- 27}{1 + 2}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 x - 6 = \frac{- 27}{3}$

Étape 9.1.3

Divisez $- 27$ par $3$ .

$6 x - 6 = - 9$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = - 9 + 6$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 9$ et $6$ .

$6 x = - 3$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $6 x = - 3$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 3$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{6}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 9.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{6}$

Étape 9.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 9.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 9.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = - \frac{1}{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 1$ .

Il y a une droite tangente sur $x = - \frac{1}{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 1$

Étape 11