Calcul infinitésimal Exemples

Déterminer la concavité y=x racine carrée de 4-x
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Find the values where the second derivative is equal to .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 2.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.1.1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.1.5
Associez et .
Étape 2.1.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.1.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.7.1
Multipliez par .
Étape 2.1.1.7.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.8
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.8.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.1.8.2
Associez et .
Étape 2.1.1.8.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.1.1.8.4
Associez et .
Étape 2.1.1.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.10
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.11
Additionnez et .
Étape 2.1.1.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.1.14
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.14.1
Multipliez par .
Étape 2.1.1.14.2
Associez et .
Étape 2.1.1.14.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.14.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.1.14.3.2
Réécrivez comme .
Étape 2.1.1.14.3.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.1.15
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.1.16
Multipliez par .
Étape 2.1.1.17
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.1.18
Associez et .
Étape 2.1.1.19
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.1.20
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.20.1
Déplacez .
Étape 2.1.1.20.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.1.20.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.1.20.4
Additionnez et .
Étape 2.1.1.20.5
Divisez par .
Étape 2.1.1.21
Simplifiez .
Étape 2.1.1.22
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.1.23
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.23.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.1.23.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.23.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.23.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.1.23.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.1.23.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.23.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.23.4
Réécrivez comme .
Étape 2.1.1.23.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.23.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.1.23.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.1.2.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.4
Simplifiez
Étape 2.1.2.5
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.5.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.5.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.5.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.2.5.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.5.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.5.6
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.5.6.1
Additionnez et .
Étape 2.1.2.5.6.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.2.6
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.6.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.1.2.6.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.2.6.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.2.8
Associez et .
Étape 2.1.2.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.2.10
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.10.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.10.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.11
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.11.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.2.11.2
Associez et .
Étape 2.1.2.11.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.1.2.12
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.13
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.14
Additionnez et .
Étape 2.1.2.15
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.16
Multipliez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.16.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.16.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.17
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.2.18
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.18.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.18.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.18.3
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.2.19
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.19.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.2.1
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.1.2.19.2.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.2.1.2.1
Déplacez .
Étape 2.1.2.19.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.19.2.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.19.2.3.1.2
Simplifiez
Étape 2.1.2.19.2.3.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.19.2.3.1.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.3.1.5
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.19.2.3.3
Additionnez et .
Étape 2.1.2.19.3
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.3.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.3.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.3.3
Réécrivez comme un produit.
Étape 2.1.2.19.3.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.4
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.4.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.4.2
Associez les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.19.4.2.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.4.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.19.4.2.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.19.4.2.4
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 2.1.2.19.4.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.2.19.4.2.6
Additionnez et .
Étape 2.1.2.19.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.19.7
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.8
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.19.9
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.2.19.10
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.11
Multipliez par .
Étape 2.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 2.2.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.2.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.2.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.2.4
Excluez les solutions qui ne rendent pas vrai.
Étape 3
Déterminez le domaine de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Définissez le radicande dans supérieur ou égal à pour déterminer où l’expression est définie.
Étape 3.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’inégalité.
Étape 3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.
Étape 3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 3.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 3.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 3.3
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 5
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.4
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.5.1
Multipliez par .
Étape 5.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.6
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.6.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.6.2
Réécrivez comme .
Étape 5.2.6.3
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.2.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.6.5
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.7
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.7.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.7.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.7.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.7.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.7.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.7.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.2.8
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 6