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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 2.1.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 2.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.1.1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.1.1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.1.5
Associez et .
Étape 2.1.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.1.7
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.1.7.1
Multipliez par .
Étape 2.1.1.7.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.8
Associez les fractions.
Étape 2.1.1.8.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.1.8.2
Associez et .
Étape 2.1.1.8.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.1.1.8.4
Associez et .
Étape 2.1.1.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.10
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.11
Additionnez et .
Étape 2.1.1.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.1.14
Associez les fractions.
Étape 2.1.1.14.1
Multipliez par .
Étape 2.1.1.14.2
Associez et .
Étape 2.1.1.14.3
Simplifiez l’expression.
Étape 2.1.1.14.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.1.14.3.2
Réécrivez comme .
Étape 2.1.1.14.3.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.1.15
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.1.16
Multipliez par .
Étape 2.1.1.17
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.1.18
Associez et .
Étape 2.1.1.19
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.1.20
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.1.1.20.1
Déplacez .
Étape 2.1.1.20.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.1.20.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.1.20.4
Additionnez et .
Étape 2.1.1.20.5
Divisez par .
Étape 2.1.1.21
Simplifiez .
Étape 2.1.1.22
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.1.23
Simplifiez
Étape 2.1.1.23.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.1.23.2
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.1.23.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.1.23.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.1.23.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.1.23.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.23.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.23.4
Réécrivez comme .
Étape 2.1.1.23.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.23.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.1.23.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.1.2.3
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.1.2.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.3.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.1.2.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.4
Simplifiez
Étape 2.1.2.5
Différenciez.
Étape 2.1.2.5.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.5.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.5.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.5.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.5.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.5.6
Simplifiez l’expression.
Étape 2.1.2.5.6.1
Additionnez et .
Étape 2.1.2.5.6.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.2.6
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.1.2.6.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.1.2.6.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.6.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.2.8
Associez et .
Étape 2.1.2.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.2.10
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.2.10.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.10.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.11
Associez les fractions.
Étape 2.1.2.11.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.2.11.2
Associez et .
Étape 2.1.2.11.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.1.2.12
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.13
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.14
Additionnez et .
Étape 2.1.2.15
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.16
Multipliez.
Étape 2.1.2.16.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.16.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.17
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.18
Associez les fractions.
Étape 2.1.2.18.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.18.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.18.3
Déplacez à gauche de .
Étape 2.1.2.19
Simplifiez
Étape 2.1.2.19.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.19.2
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.2.19.2.1
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.19.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.1.2.19.2.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.1.2.19.2.1.2.1
Déplacez .
Étape 2.1.2.19.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.19.2.3
Simplifiez
Étape 2.1.2.19.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.19.2.3.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.19.2.3.1.2
Simplifiez
Étape 2.1.2.19.2.3.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.19.2.3.1.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.3.1.5
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.19.2.3.3
Additionnez et .
Étape 2.1.2.19.3
Associez des termes.
Étape 2.1.2.19.3.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.3.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.3.3
Réécrivez comme un produit.
Étape 2.1.2.19.3.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.4
Simplifiez le dénominateur.
Étape 2.1.2.19.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.4.2
Associez les exposants.
Étape 2.1.2.19.4.2.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.4.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.19.4.2.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.19.4.2.4
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 2.1.2.19.4.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.2.19.4.2.6
Additionnez et .
Étape 2.1.2.19.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.19.7
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.19.8
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.19.9
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.2.19.10
Multipliez par .
Étape 2.1.2.19.11
Multipliez par .
Étape 2.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Étape 2.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 2.2.3
Résolvez l’équation pour .
Étape 2.2.3.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.2.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 2.2.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.2.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 2.2.3.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.3.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.2.4
Excluez les solutions qui ne rendent pas vrai.
Étape 3
Étape 3.1
Définissez le radicande dans supérieur ou égal à pour déterminer où l’expression est définie.
Étape 3.2
Résolvez .
Étape 3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’inégalité.
Étape 3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.
Étape 3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 3.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 3.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 3.3
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.4
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.2.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.2.5.1
Multipliez par .
Étape 5.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.6
Simplifiez le dénominateur.
Étape 5.2.6.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.6.2
Réécrivez comme .
Étape 5.2.6.3
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.2.6.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.2.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.6.5
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.7
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Étape 5.2.7.1
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.2.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.7.1.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.2.7.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.7.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.7.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.7.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.2.8
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 6