Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{2} - x - 6$

Étape 1

Écrivez $y = 4 x^{2} - x - 6$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x^{2} - x - 6$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x - 1 + 0$

Étape 2.1.1.4.2

Additionnez $8 x - 1$ et $0$ .

$f' (x) = 8 x - 1$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 + 0$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$f'' (x) = 8$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8$ .

$8$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$8 = 0$

Étape 2.2.2

Comme $8 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Le graphe est concave vers le haut car la dérivée seconde est positive.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 5