Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{4} + 16 x^{3} - 16 x + 2$

Étape 1

Écrivez $y = - x^{4} + 16 x^{3} - 16 x + 2$ comme une fonction.

$f (x) = - x^{4} + 16 x^{3} - 16 x + 2$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 16 x^{3} - 16 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 48 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 48 x^{2} - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 48 x^{2} - 16 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 48 x^{2} - 16 + 0$

Étape 2.1.1.5.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 48 x^{2} - 16$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 48 x^{2} - 16$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 48 x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 96 x + 0$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $- 12 x^{2} + 96 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 96 x$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{2} + 96 x$ .

$- 12 x^{2} + 96 x$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{2} + 96 x = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 12 x^{2} + 96 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2} + 96 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 96 x = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $96 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x (x) - 12 x (- 8)$ .

$- 12 x (x - 8) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x (x - 8) = 0$ vraie.

$x = 0, 8$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = - 12 {(- 2)}^{2} + 96 (- 2)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = - 12 \cdot 4 + 96 (- 2)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$f'' (- 2) = - 48 + 96 (- 2)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $96$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 48 - 192$

Étape 5.2.2

Soustrayez $192$ de $- 48$ .

$f'' (- 2) = - 240$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 240$ .

$- 240$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 8)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - 12 {(4)}^{2} + 96 (4)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - 12 \cdot 16 + 96 (4)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $16$ .

$f'' (4) = - 192 + 96 (4)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $96$ par $4$ .

$f'' (4) = - 192 + 384$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 192$ et $384$ .

$f'' (4) = 192$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $192$ .

$192$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, 8)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, 8)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f'' (10) = - 12 {(10)}^{2} + 96 (10)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f'' (10) = - 12 \cdot 100 + 96 (10)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $100$ .

$f'' (10) = - 1200 + 96 (10)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $96$ par $10$ .

$f'' (10) = - 1200 + 960$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 1200$ et $960$ .

$f'' (10) = - 240$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 240$ .

$- 240$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(8, \infty)$ car $f'' (10)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(8, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, 8)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(8, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9