Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $15$ par $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 30$ .

$60 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$60 x^{3} - 60 x + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $60 x^{3} - 60 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 x$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $60 x^{3} - 60 x$ .

$60 x^{3} - 60 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $60 x^{3} - 60 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$60 x^{3} - 60 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x^{3} - 60 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x^{3}$ .

$60 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $60 x$ à partir de $- 60 x$ .

$60 x (x^{2}) + 60 x (- 1) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x (x^{2}) + 60 x (- 1)$ .

$60 x (x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$60 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$60 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$60 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $60 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 60 {(- 4)}^{3} - 60 \cdot - 4$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = 60 \cdot - 64 - 60 \cdot - 4$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $60$ par $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 3840 - 60 \cdot - 4$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 3840 + 240$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 3840$ et $240$ .

$f'' (- 4) = - 3600$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 3600$ .

$- 3600$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f'' (- 0.5) = 60 {(- 0.5)}^{3} - 60 \cdot - 0.5$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.5) = 60 \cdot - 0.125 - 60 \cdot - 0.5$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $60$ par $- 0.125$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.5 - 60 \cdot - 0.5$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.5 + 30$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 7.5$ et $30$ .

$f'' (- 0.5) = 22.5$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $22.5$ .

$22.5$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 1, 0)$ car $f'' (- 0.5)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 1, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f'' (0.5) = 60 {(0.5)}^{3} - 60 \cdot 0.5$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.5) = 60 \cdot 0.125 - 60 \cdot 0.5$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $60$ par $0.125$ .

$f'' (0.5) = 7.5 - 60 \cdot 0.5$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $0.5$ .

$f'' (0.5) = 7.5 - 30$

Étape 6.2.2

Soustrayez $30$ de $7.5$ .

$f'' (0.5) = - 22.5$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 22.5$ .

$- 22.5$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 1)$ car $f'' (0.5)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 60 {(4)}^{3} - 60 \cdot 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = 60 \cdot 64 - 60 \cdot 4$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $60$ par $64$ .

$f'' (4) = 3840 - 60 \cdot 4$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $4$ .

$f'' (4) = 3840 - 240$

Étape 7.2.2

Soustrayez $240$ de $3840$ .

$f'' (4) = 3600$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3600$ .

$3600$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 1, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9