Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 1$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 48 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} - 48 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 48$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 48$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 48]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x + 0$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x$ .

$24 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$24 x = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $24 x = 0$ par $24$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $24 x = 0$ par $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{24}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $24$ .

$x = 0$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 24 (- 2)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 48$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $- 48$ .

$- 48$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 24 (2)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $24$ par $2$ .

$f'' (2) = 48$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7