Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

Étape 1

Écrivez $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 45 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [150 x]$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 45$ .

$12 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} [150 x]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [150 x]$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $150$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $150 x$ par rapport à $x$ est $150 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 90 x + 150 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 90 x + 150 \cdot 1$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $150$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 90 x + 150$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90 x] + \frac{d}{d x} [150]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90 x] + \frac{d}{d x} [150]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90 x] + \frac{d}{d x} [150]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 90 x] + \frac{d}{d x} [150]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 90 x] + \frac{d}{d x} [150]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 90 x]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 90$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 90 x$ par rapport à $x$ est $- 90 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 90 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [150]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x - 90 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [150]$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $- 90$ par $1$ .

$24 x - 90 + \frac{d}{d x} [150]$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $150$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $150$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x - 90 + 0$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $24 x - 90$ et $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 90$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x - 90$ .

$24 x - 90$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x - 90 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$24 x - 90 = 0$

Étape 2.2.2

Ajoutez $90$ aux deux côtés de l’équation.

$24 x = 90$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $24 x = 90$ par $24$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $24 x = 90$ par $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{90}{24}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 x}{24} = \frac{90}{24}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{90}{24}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $90$ et $24$ .

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Étape 2.2.3.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $90$ .

$x = \frac{6 (15)}{24}$

Étape 2.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $24$ .

$x = \frac{6 \cdot 15}{6 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6 \cdot 15}{6 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{15}{4}$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{15}{4}) \cup (\frac{15}{4}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \frac{15}{4})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 24 (0) - 90$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $24$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 90$

Étape 5.2.2

Soustrayez $90$ de $0$ .

$f'' (0) = - 90$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 90$ .

$- 90$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, \frac{15}{4})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \frac{15}{4})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{15}{4}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 24 (6) - 90$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $24$ par $6$ .

$f'' (6) = 144 - 90$

Étape 6.2.2

Soustrayez $90$ de $144$ .

$f'' (6) = 54$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $54$ .

$54$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{15}{4}, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{15}{4}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \frac{15}{4})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{15}{4}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8