Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Étape 1

Écrivez $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{32}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{32}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.1.1.2.2

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ et $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Étape 2.1.1.2.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Étape 2.1.1.2.4.3

Associez $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ et $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

Étape 2.1.1.2.4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $32$ .

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Étape 2.1.1.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

Étape 2.1.1.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

Étape 2.1.1.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

Étape 2.1.1.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Étape 2.1.1.2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.4.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Étape 2.1.1.2.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $- \frac{1}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $- \frac{1}{32}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{32}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.4.2.1

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ et $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4.3

Associez $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ et $x$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $32$ .

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Étape 2.1.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

Étape 2.1.2.10

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez

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Étape 2.1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Étape 2.1.2.11.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Étape 2.1.2.11.2.2

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Étape 2.1.2.11.2.3

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Étape 2.1.2.11.2.4

Multipliez $16$ par $16$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Étape 2.1.2.11.2.5

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ et $\frac{1}{16}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

Étape 2.2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - 4, 4$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Placez $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $36$ et $32$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 5.2.1.7

Placez $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

Étape 5.2.1.8

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Étape 5.2.1.9

Annulez le facteur commun à $36$ et $32$ .

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Étape 5.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Étape 5.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Étape 5.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Étape 5.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64 e^{\frac{9}{8}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 5.2.5

Soustrayez $4$ de $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ car $f'' (- 6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 4, 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.2.2

Divisez $0$ par $32$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.4

Divisez $0$ par $256$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

Étape 6.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.6.1

Divisez $0$ par $32$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

Étape 6.2.1.6.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{16}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 4, 4)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 4, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Placez $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.4

Annulez le facteur commun à $36$ et $32$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Étape 7.2.1.7

Placez $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

Étape 7.2.1.8

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Étape 7.2.1.9

Annulez le facteur commun à $36$ et $32$ .

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Étape 7.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Étape 7.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Étape 7.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Étape 7.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64 e^{\frac{9}{8}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 7.2.5

Soustrayez $4$ de $9$ .

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(4, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 4, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9