Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 6 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{4} - 6 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 12$ .

$12 x^{2} - 12$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 12 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 12 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 12$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 12$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 12$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{12}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $12$ par $12$ .

$x^{2} = 1$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 6$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (1) = - 5$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ est $(1, - 5)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, - 5)$

Étape 4.3

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 - 6 \cdot 1$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 - 6$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (- 1) = - 5$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ est $(- 1, - 5)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, - 5)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, - 5), (- 1, - 5)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} - 12$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 12$

Étape 6.2.2

Soustrayez $12$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 2.52$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2.52$ .

$2.52$

Étape 6.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $2.52$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 12$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 12$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Étape 7.2.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 12$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 1, 1)$

Diminue sur $(- 1, 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $12$ par $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 12$

Étape 8.2.2

Soustrayez $12$ de $14.52$ .

$f'' (1.1) = 2.52$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $2.52$ .

$2.52$

Étape 8.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $2.52$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 5), (1, - 5)$ .

$(- 1, - 5), (1, - 5)$

Étape 10