Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 1

Écrivez ${(x^{2} - 1)}^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Étape 2.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Étape 2.1.1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

Étape 2.1.2.10

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ par $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez

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Étape 2.1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Étape 2.1.2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Étape 2.1.2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.11.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.11.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4.5

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.4.6

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.11.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.11.5.1

Réécrivez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ comme $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.2.11.5.2

Développez $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.11.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.2.11.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.2.11.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.1.2.11.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.11.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.11.5.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.11.5.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.1.2.11.5.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.1.2.11.5.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.1.2.11.5.3.1.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.1.2.11.5.3.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.1.2.11.5.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

Étape 2.1.2.11.5.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Étape 2.1.2.11.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

Étape 2.1.2.11.5.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.11.5.5.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Étape 2.1.2.11.5.5.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

Étape 2.1.2.11.6

Additionnez $24 x^{4}$ et $6 x^{4}$ .

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

Étape 2.1.2.11.7

Soustrayez $12 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

Étape 2.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $6$ à partir de $30 u^{2} - 36 u + 6$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $30 u^{2}$ .

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 36 u$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

Étape 2.2.3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

Étape 2.2.3.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

Étape 2.2.3.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez.

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Étape 2.2.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 u$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Étape 2.2.3.2.1.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1$ plus $- 5$

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

Étape 2.2.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

Étape 2.2.3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

Étape 2.2.3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

Étape 2.2.3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 u - 1$ .

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

Étape 2.2.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

Étape 2.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $5 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $5 u - 1$ égal à $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez $5 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 u = 1$

Étape 2.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 u = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 u = 1$ par $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Étape 2.2.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 2.2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Étape 2.2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 2.2.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Étape 2.2.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Étape 2.2.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 2.2.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.2.10.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 2.2.10.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.2.10.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.10.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.2.10.2.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.2.10.2.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.2.10.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.10.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.2.10.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.2.10.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.10.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.10.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.10.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.10.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.10.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.2.10.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.2.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.2.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.2.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 2.2.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1$

Étape 2.2.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.2.12.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.2.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.2.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.2.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2.2.13

La solution à $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $30$ par $256$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $16$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $576$ de $7680$ .

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $7104$ et $6$ .

$f'' (- 4) = 7110$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $7110$ .

$7110$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.72$ dans l’expression.

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.72$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $30$ par $0.26873856$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 0.72$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $0.5184$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $18.6624$ de $8.0621568$ .

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 10.6002432$ et $6$ .

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ car $f'' (- 0.72)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $30$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Étape 7.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$f'' (0) = 6$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.72$ dans l’expression.

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.72$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $30$ par $0.26873856$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Étape 8.2.1.3

Élevez $0.72$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $0.5184$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $18.6624$ de $8.0621568$ .

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $- 10.6002432$ et $6$ .

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ car $f'' (0.72)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $30$ par $256$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Étape 9.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $16$ .

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

Étape 9.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.2.1

Soustrayez $576$ de $7680$ .

$f'' (4) = 7104 + 6$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $7104$ et $6$ .

$f'' (4) = 7110$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $7110$ .

$7110$

Étape 9.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 10

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 11