Calcul infinitésimal Exemples

$5 - 2 x y = 7 x - 3 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 - 2 x y) = \frac{d}{d x} (7 x - 3 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$0 - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$0 - 2 (x y' + y)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - 2 (x y') - 2 y$

Étape 2.3.2

Soustrayez $- (- 2 x y' - 2 y)$ de $0$ .

$- 2 x y' - 2 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$7 - 3 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 x y' - 2 y = 7 - 3 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $3 y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x y' - 2 y + 3 y' = 7$

Étape 5.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x y' + 3 y' = 7 + 2 y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y' + 3 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + 3 y' = 7 + 2 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y'$ .

$y' (- 2 x) + y' \cdot 3 = 7 + 2 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 x) + y' \cdot 3$ .

$y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ par $- 2 x + 3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ par $- 2 x + 3$ .

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2 x + 3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 2 x + 3}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) + 3}$

Étape 5.4.3.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) - 1 (- 3)}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x - 3)}$

Étape 5.4.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.4.3.5.1

Réécrivez $- (2 x - 3)$ comme $- 1 (2 x - 3)$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 1 (2 x - 3)}$

Étape 5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$