Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Étape 1

Réécrivez le côté droit avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 1$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1] - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.7.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.12

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.13

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.15.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.15.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.16

Associez les fractions.

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Étape 4.16.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.16.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.16.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.17

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.18

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19

Simplifiez

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Étape 4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.19.4.1

Associez les termes opposés dans $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.19.4.1.1

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.1.2

Additionnez $1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.19.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.2.3

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.5

Associez des termes.

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Étape 4.19.5.1

Réécrivez $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 4.19.5.2

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$