Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 1.1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Étape 1.1.2.2.6.2

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$2 x^{- 3}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez

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Étape 1.1.2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et ${(- 2)}^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 4.2.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et ${(2)}^{3}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Étape 5.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7