Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 1.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 1.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

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Étape 1.1.2.5.2.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2.2

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2.3

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.6.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.11

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.16

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.17

Associez $- 2$ et $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.19

Simplifiez

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Étape 1.1.2.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.19.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.19.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.19.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.19.3

Factorisez $2$ à partir de $2 - 6 x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.19.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.19.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.2.19.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $1 - 3 x^{2}$ par $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 1$

Étape 1.2.3.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 1.2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.3.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.3.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{1 + x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 + x^{2} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $27$ de $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $1$ et $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Étape 4.2.3.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Étape 4.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

Étape 4.2.4.2

Annulez le facteur commun à $- 52$ et $1000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 52$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Étape 4.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1000$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Étape 4.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Étape 4.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

Étape 4.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $27$ de $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1$ et $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 52$ et $1000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 52$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1000$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8