Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{3} - 4 (2 x)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 8 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 8 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 8$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 8$ .

$6 x^{2} - 8$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 8 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x^{2} - 8 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} = 8$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 8$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 8$ par $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $6$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x^{2} = \frac{2 (4)}{6}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} - 8$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 - 8$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $6$ par $16$ .

$f'' (- 4) = 96 - 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8$ de $96$ .

$f'' (- 4) = 88$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $88$ .

$88$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 6 {(0)}^{2} - 8$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 6 \cdot 0 - 8$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 8$

Étape 5.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$f'' (0) = - 8$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 6 {(4)}^{2} - 8$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 6 \cdot 16 - 8$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $6$ par $16$ .

$f'' (4) = 96 - 8$

Étape 6.2.2

Soustrayez $8$ de $96$ .

$f'' (4) = 88$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $88$ .

$88$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8