Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1.1

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2

Additionnez $2 \cdot - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Soustrayez $2 x$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.3.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez ${(x + 2)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ et $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez.

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Étape 1.1.2.6.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez.

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Étape 1.1.2.8.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.8.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5.3

Associez $- 10$ et $\frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(10) ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Simplifiez

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Étape 1.1.2.9.1

Appliquez la règle de produit à ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)) - x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.9.4.1

Factorisez $10 (x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

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Étape 1.1.2.9.4.1.1

Factorisez $10 (x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.2

Factorisez $10 (x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.3

Factorisez $10 (x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.4

Factorisez $10 (x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.5

Factorisez $10 (x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2)) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.9.4.3.1

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.9.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x (x - 2) + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 1.1.2.9.4.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.4.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.4.3.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.9.4.3.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.9

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 1.1.2.9.4.4.1

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.4.2

Additionnez $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.5

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 4 - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.9.5.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.9.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.3

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.3.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.9.5.3.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.4

Annulez le facteur commun à $x - 2$ et ${(x - 2)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.4.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $10 (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.9.5.4.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.7

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.9

Réécrivez $- (3 x^{2} + 4)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Étape 1.1.2.9.12

Multipliez $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$10 (3 x^{2} + 4) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ par $10$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} + 4$ par $1$ .

$3 x^{2} + 4 = \frac{0}{10}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $10$ .

$3 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 4$

Étape 1.2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Étape 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Réécrivez $- \frac{4}{3}$ comme $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

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Étape 1.2.3.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.3.5.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Étape 1.2.3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Étape 1.2.3.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 1.2.3.5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.5.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.2.3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.5.7.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.3.5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.3.5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.5.8

Associez $i$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 1.2.3.5.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2, - 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2, - 2}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 {(- 4)}^{2} + 4)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Étape 4.2.1.3

Additionnez $48$ et $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Étape 4.2.2.4

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 \cdot - 216}$

Étape 4.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $10$ par $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{- 8 \cdot - 216}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- 8$ par $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{1728}$

Étape 4.2.3.3

Annulez le facteur commun à $520$ et $1728$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Factorisez $8$ à partir de $520$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Étape 4.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Étape 4.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Étape 4.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{65}{216}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{10 (3 {(0)}^{2} + 4)}{{((0) + 2)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (3 \cdot 0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Étape 5.2.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez ${(0 - 2)}^{3}$ par ${(0 - 2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.6.1

Déplacez ${(0 - 2)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Étape 5.2.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3}}$

Étape 5.2.2.6.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Étape 5.2.3

Multipliez $10$ par $4$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 {(- 2)}^{6}}$

Étape 5.2.4.2

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot 64}$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 64}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun à $40$ et $- 64$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Factorisez $8$ à partir de $40$ .

$f'' (0) = \frac{8 (5)}{- 64}$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 64$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Étape 5.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Étape 5.2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{5}{- 8}$

Étape 5.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{5}{8}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $- \frac{5}{8}$ .

$- \frac{5}{8}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 2, 2)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{10 (3 {(4)}^{2} + 4)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $48$ et $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 2^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 8}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $10$ par $52$ .

$f'' (4) = \frac{520}{216 \cdot 8}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $216$ par $8$ .

$f'' (4) = \frac{520}{1728}$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun à $520$ et $1728$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.3.1

Factorisez $8$ à partir de $520$ .

$f'' (4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Étape 6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $1728$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Étape 6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Étape 6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = \frac{65}{216}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8