Calcul infinitésimal Exemples

Déterminer la concavité f(x)=(x-5)^4
Étape 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée seconde.
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Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
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Étape 1.1.1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 1.1.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.2.3
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.3.5
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.5.1
Additionnez et .
Étape 1.1.2.3.5.2
Multipliez par .
Étape 1.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 1.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 1.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 1.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.3
Définissez le égal à .
Étape 1.2.4
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 3
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 4
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
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Étape 4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.4
La réponse finale est .
Étape 4.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 5
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.4
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 6
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 7