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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 1.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.1.2
Différenciez.
Étape 1.1.1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.4
Simplifiez l’expression.
Étape 1.1.1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 1.1.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.2.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.2.3
Différenciez.
Étape 1.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.3.5
Simplifiez l’expression.
Étape 1.1.2.3.5.1
Additionnez et .
Étape 1.1.2.3.5.2
Multipliez par .
Étape 1.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 1.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 1.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.3
Définissez le égal à .
Étape 1.2.4
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 3
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 4
Étape 4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.2
Simplifiez le résultat.
Étape 4.2.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.4
La réponse finale est .
Étape 4.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 5.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.4
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 6
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 7