Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ et $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.6

Différenciez.

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Étape 1.1.1.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.6.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.6.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.6.5.2

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7

Simplifiez

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Étape 1.1.1.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.7.1.1

Factorisez $2 (x - 2) (x - 4)$ à partir de $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

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Étape 1.1.1.7.1.1.1

Factorisez $2 (x - 2) (x - 4)$ à partir de $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.1.2

Factorisez $2 (x - 2) (x - 4)$ à partir de $- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.1.3

Factorisez $2 (x - 2) (x - 4)$ à partir de $2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.6

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.2

Annulez le facteur commun à $x - 2$ et ${(x - 2)}^{4}$ .

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Étape 1.1.1.7.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $4 (x - 2) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.1.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.7.2.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.1.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.1.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

Étape 1.1.2.2

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez ${(x - 2)}^{3}$ par $1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.5.2

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

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Étape 1.1.2.5.2.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{3}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.5.2.2

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de $- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.5.2.3

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 1.1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.6.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{6}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.10

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.10.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.10.3

Associez $4$ et $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez

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Étape 1.1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.11.3.1.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.3.1.3

Multipliez $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

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Étape 1.1.2.11.3.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.3.1.3.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.3.2

Soustrayez $12 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.3.3

Additionnez $- 8$ et $48$ .

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.4

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x + 40$ .

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Étape 1.1.2.11.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.4.2

Factorisez $8$ à partir de $40$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x) + 8 (5)$ .

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.6

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.8

Réécrivez $- (x - 5)$ comme $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.11.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 (x - 5) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 (x - 5) = 0$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 (x - 5) = 0$ par $8$ .

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 5$ par $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $5$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

Étape 4.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $8$ par $- 5$ .

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 40$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

Étape 4.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 2)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, 5)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $5$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, 5)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, 5)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $5$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Soustrayez $2$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $24$ et $1296$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $24$ à partir de $24$ .

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $24$ à partir de $1296$ .

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(5, \infty)$ car $f'' (8)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(5, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(2, 5)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(5, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8