Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{2} + x$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

Étape 2.1.2.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Étape 2.1.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Étape 2.1.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Étape 2.1.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Étape 2.1.2.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Étape 2.1.2.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Étape 2.1.2.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Étape 2.1.2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

Étape 2.2.2

Déplacez $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $- 2 h x$ et $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $- h^{2} - 2 h x + h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

Étape 4.1.7

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2} - 2 h x + h$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Étape 4.1.7.3

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Étape 4.1.7.4

Factorisez $h$ à partir de $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.7.5

Factorisez $h$ à partir de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.7.6

Factorisez $h$ à partir de $h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $- h - 2 x + 1$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $- h$ et $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Étape 6

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 2 x + 0 + 1$

Étape 8.2

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$- 2 x + 1$

Étape 9