Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Étape 2.1.2.4

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Étape 2.1.2.5

La réponse finale est $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Étape 2.2.3

Déplacez $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Étape 2.2.4

Déplacez $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $6 h^{2} x$ et $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $2 h$ à partir de $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.4.3

Factorisez $2 h$ à partir de $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.4.4

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.4.5

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Étape 4.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Étape 4.4

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Étape 4.5

Déplacez $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $6 x h$ et $6 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Étape 6

Évaluez la limite de $6 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Étape 7

Placez le terme $6 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $6 x \cdot 0$ .

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Étape 11.1.1.1

Multipliez $0$ par $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Étape 11.1.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Étape 11.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Étape 11.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Étape 11.2

Associez les termes opposés dans $6 x^{2} + 0 + 0$ .

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Étape 11.2.1

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$6 x^{2}$

Étape 12