Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 1$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 1$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 1$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 1$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 1$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 1$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 1$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 1$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 1$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - (x^{2} - 1)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} + 1}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} + 1}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 1 + 1}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 1 + 1}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{2} + 2 h x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Étape 4.1.7

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Étape 4.1.7.3

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h + 2 x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 x + 0$

Étape 7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 8