Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $6 h x$ et $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $3 h^{2} + 6 h x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Étape 4.1.4

Factorisez $3 h$ à partir de $3 h^{2} + 6 h x$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $3 h$ à partir de $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $3 h$ à partir de $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Étape 4.1.4.3

Factorisez $3 h$ à partir de $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $3 (h + 2 x)$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

Étape 4.2.3.2

Remettez dans l’ordre $3 h$ et $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $6 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Étape 5.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$6 x + 0$

Étape 7.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$6 x$

Étape 8