Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{3} + 1$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f' (x)$ est continu sur $[2, 3]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2

Simplifiez

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Étape 8.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

Étape 8.2.2.4

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

Étape 8.2.2.5

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

Étape 8.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

Étape 8.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.7.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

Étape 8.2.2.7.2

Soustrayez $8$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

Étape 8.2.2.8

Associez $3$ et $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Étape 8.2.2.9

Multipliez $3$ par $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

Étape 8.2.2.10

Annulez le facteur commun à $57$ et $3$ .

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Étape 8.2.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Étape 8.2.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

Étape 8.2.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

Étape 8.2.2.10.2.4

Divisez $19$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

Étape 9

Soustrayez $2$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1 \cdot 19$

Étape 11

Multipliez $19$ par $1$ .

$A (x) = 19$

Étape 12