Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = 2 \sqrt{x}$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.10

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.12

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f' (x)$ est continu sur $[4, 9]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 2.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 2.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 3

$f' (x)$ est continu sur $[4, 9]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.4

Évaluez l’exposant.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 8.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 8.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Étape 8.2.9

Évaluez l’exposant.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Étape 8.2.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

Étape 8.2.11

Soustrayez $4$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

Étape 9

Soustrayez $4$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

Étape 10

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$A (x) = \frac{2}{5}$

Étape 11