Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

$f' (x)$ est continu sur $[0, 5]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 5

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.2

Simplifiez

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Étape 9.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 9.2.2.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 9.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.2.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

Étape 9.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

Étape 9.2.2.5

Additionnez $\frac{125}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

Étape 9.2.2.6

Associez $3$ et $\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Étape 9.2.2.7

Multipliez $3$ par $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

Étape 9.2.2.8

Annulez le facteur commun à $375$ et $3$ .

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Étape 9.2.2.8.1

Factorisez $3$ à partir de $375$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Étape 9.2.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

Étape 9.2.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

Étape 9.2.2.8.2.4

Divisez $125$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

Étape 10.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 25$

Étape 12