Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = 4 - x^{2}$ est continu.

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Étape 1.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 4 - x^{2}$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.1.1.3

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x$ .

$- 2 x$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[- 2, 2]$ .

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Étape 2.2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[- 2, 2]$ car la dérivée est continue sur $[- 2, 2]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[- 2, 2]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[- 2, 2]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = 4 - x^{2}$ .

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 4.3

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

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Étape 6.1

Laissez $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ est positif.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.1.2

Réorganisez les termes.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Associez $\sec (t)$ et $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Étape 6.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

Étape 6.4

Appliquez la formule de réduction.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

Étape 6.5

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Étape 6.6.2

Pour écrire $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Étape 6.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Étape 6.6.5

Déplacez $2$ à gauche de $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Étape 6.6.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.6.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Étape 6.7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.7.1

Évaluez $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ sur $1.32581766$ et sur $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Étape 6.7.2

Évaluez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ sur $1.32581766$ et sur $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Étape 6.7.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Étape 6.8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9

Simplifiez

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Étape 6.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.1.1

Évaluez $\tan (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.1.2

Évaluez $\sec (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.2

Multipliez $- 4$ par $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.3

Divisez $- 16.4924225$ par $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.4

Multipliez $- 1$ par $- 8.24621125$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.9.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.5.1.1

Évaluez $\tan (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.5.1.2

Évaluez $\sec (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.5.2

Multipliez $4$ par $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.5.3

Divisez $16.4924225$ par $2$ .

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.6

Additionnez $8.24621125$ et $8.24621125$ .

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.7

Multipliez $2$ par $16.4924225$ .

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ est d’environ $8.12310562$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Étape 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ est d’environ $0.12310562$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Forme décimale :

$9.29356752 \dots$

Étape 8