Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ est continu.

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Étape 1.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[0, 4]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

Étape 1.1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x^{5}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{5} \geq 0$

Étape 1.1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.1.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Étape 1.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 1.1.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq 0$

Étape 1.1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Étape 2.1.1.2

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Étape 2.1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 2.1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 2.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 2.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Étape 2.1.1.7.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Étape 2.1.1.8

Associez $\frac{5}{4}$ et $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Étape 2.1.1.9

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Étape 2.1.1.10

Multipliez.

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Étape 2.1.1.10.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Étape 2.1.1.10.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Étape 2.1.1.11

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Étape 2.1.1.12

Divisez $x^{\frac{1}{4}}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[0, 4]$ .

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Étape 2.2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[0, 4]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

Étape 2.2.1.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt[4]{x}$

Étape 2.2.1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[0, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[0, 4]$ car la dérivée est continue sur $[0, 4]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[0, 4]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[0, 4]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 4.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Étape 4.2

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{5}{4}$ et $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Étape 4.10

Multipliez.

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Étape 4.10.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Étape 4.10.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Étape 4.12

Divisez $x^{\frac{1}{4}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

Étape 6