Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $0 < x < 6$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = x^{2} + 2 x$ est continu.

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Étape 1.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 6]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{2} + 2 x$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[0, 6]$ .

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Étape 2.2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[0, 6]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[0, 6]$ car la dérivée est continue sur $[0, 6]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[0, 6]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[0, 6]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 2$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{6} \sqrt{1 + {(2 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

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Étape 6.1

Complétez le carré.

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Étape 6.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 5$

Étape 6.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 6.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Étape 6.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 6.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 6.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 6.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 6.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Étape 6.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 5 - \frac{64}{16}$

Étape 6.1.4.2.1.3

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 5 - 1 \cdot 4$

Étape 6.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 5 - 4$

Étape 6.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$e = 1$

Étape 6.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x + 1)}^{2} + 1$ .

$\int_{0}^{6} \sqrt{4 {(x + 1)}^{2} + 1} d x$

Étape 6.2

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 6.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 6.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 6.2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Étape 6.2.5

Additionnez $6$ et $1$ .

$u_{upper} = 7$

Étape 6.2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Étape 6.2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{7} \sqrt{4 u^{2} + 1} d u$

Étape 6.3

Laissez $u = \frac{1}{2} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ est positif.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Simplifiez $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Étape 6.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.2

Simplifiez

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Étape 6.4.2.1

Associez $\sec (t)$ et $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.2.2

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.2.1

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 6.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Étape 6.4.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Étape 6.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec^{3} (t) d t$

Étape 6.6

Appliquez la formule de réduction.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec (t) d t)$

Étape 6.7

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886})$

Étape 6.8

Simplifiez

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Étape 6.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

Étape 6.8.2

Pour écrire $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

Étape 6.8.3

Associez $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

Étape 6.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$

Étape 6.8.5

Déplacez $2$ à gauche de $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$

Étape 6.8.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.8.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{4}$

Étape 6.9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.9.1

Évaluez $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ sur $1.49948886$ et sur $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{4}$

Étape 6.9.2

Évaluez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ sur $1.49948886$ et sur $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + (\ln (| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |)) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Étape 6.9.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Étape 6.10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11

Simplifiez

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Étape 6.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.11.1.1

Évaluez $\tan (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{2 \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.1.2

Évaluez $\sec (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{2 \cdot 2.23606797}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.2

Multipliez $2$ par $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{4.47213595}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.3

Divisez $4.47213595$ par $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - 1 \cdot 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.4

Multipliez $- 1$ par $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.5.1.1

Évaluez $\tan (1.49948886)$ .

$\frac{2 (\frac{14 \sec (1.49948886)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.5.1.2

Évaluez $\sec (1.49948886)$ .

$\frac{2 (\frac{14 \cdot 14.03566884}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.5.2

Multipliez $14$ par $14.03566884$ .

$\frac{2 (\frac{196.49936386}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.5.3

Divisez $196.49936386$ par $2$ .

$\frac{2 (98.24968193 - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.6

Soustrayez $2.23606797$ de $98.24968193$ .

$\frac{2 \cdot 96.01361395 + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.7

Multipliez $2$ par $96.01361395$ .

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.8

$\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)$ est d’environ $28.03566884$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Étape 6.11.9

$\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)$ est d’environ $4.23606797$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Forme décimale :

$48.47926750 \dots$

Étape 8