Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

Étape 1

Comme $3000$ est constant par rapport à $x$ , placez $3000$ en dehors de l’intégrale.

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = - 0.05 x$ . Alors $d u = - 0.05 d x$ , donc $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - 0.05 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- 0.05 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

Étape 2.1.2

Comme $- 0.05$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.05 x$ par rapport à $x$ est $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.05 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 0.05$ par $1$ .

$- 0.05$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 0.05 x$ .

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 0.05$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 0.05 x$ .

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

Étape 2.5

Multipliez $- 0.05$ par $5$ .

$u_{upper} = - 0.25$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

Étape 3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.05}$ .

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $3000$ .

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{0.05}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.05}$ en dehors de l’intégrale.

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{0.05}$ et $- 3000$ .

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 0.25$ et sur $0$ .

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Divisez $3000$ par $0.05$ .

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $60000$ .

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

Étape 10.4

Multipliez $- 60000$ par $- 1$ .

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

Étape 10.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

Étape 10.5.2

Associez $- 60000$ et $\frac{1}{e^{0.25}}$ .

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

Étape 10.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Forme décimale :

$13271.95301571 \dots$

Étape 12