Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{x + h}{6 - x - h}$ .

$\frac{x + h}{6 - x - h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{6 - x - h} - (\frac{x}{6 - x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{x + h}{6 - x - h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{x}{6 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(6 - x - h) (6 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{x + h}{6 - x - h}$ par $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{x}{6 - x}$ par $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(6 - x - h) (6 - x)$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x) (6 - x - h)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Développez $(x + h) (6 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x (6 - x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{6 x - x \cdot x + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{6 x - (x \cdot x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.4

Déplacez $6$ à gauche de $h$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 \cdot h + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x \cdot 6 - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Simplifiez

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Étape 4.1.5.4.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + 0 + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{6 h - h x + 0 + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Additionnez $6 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{- h x + 6 h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $- h x$ et $x h$ .

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Étape 4.1.5.10.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{6 h - x h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10.2

Additionnez $- x h$ et $x h$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Additionnez $6 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{(6 - x) (6 - x - h)}$

Étape 5