Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4}}{6 x + 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.2.2

Divisez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Étape 2.7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{6 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{6 + 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{6 + 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{6 + 0}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{6 + 0}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{6 + 0}$

Étape 6.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{3}{6}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$